2 つの円 \( C_1 : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r_1^{ 2}, \hspace{12px} C_2 : (x-c)^2 + (y-d)^2 = r_2^2 \hspace{20px} (r_1, \hspace{5px} r_2>0) \) を考える。
\(C_1\) と \(C_2\) を \(x\) 軸方向に \(-a \text{、} y\) 軸方向に \(-b\) 平行移動したものをそれぞれ \(C_1',\) \(C_2'\) とすると、2つの円は
\[
\begin{array}{@{}1}
C_1' : \> x^2+y^2=r_1^2 \\
C_2' : \> (x-p)^2+(y-q)^2=r_2^2
\end{array}
\]
と表される。ただし \( p=c-a, \hspace{12px} q=d-b \) である。
\(C_1\) と \(C_2\) の共通接線を \(l\) とする。
\(l\) と \(C_1'\) の接点の座標を \((\alpha, \hspace{4px} \beta)\) とすると、
\( \alpha^2+\beta^2=r_1^2 \) が成り立ち、接線 \(l\) は \( \alpha x+\beta y=r_1^2 \) で表される。
また、\(l\) は \(C_2'\) の接線であるから、\(l\) と点 \((p, \hspace{4px} q)\) の距離は \(r_2\) である。
したがって、
\[ \frac{|\alpha p+\beta q-r_1^2|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = r_2 \]
すなわち
\[ |\alpha p+\beta q-r_1^2| = r_1 r_2 \]
が成り立つ。
2式
\[
\left\{
\begin{array}{@{}1}
\alpha^2+\beta^2=r_1^2 \\
|\alpha p+\beta q-r_1^2| = r_1 r_2
\end{array}
\right.
\]
を連立して \(\alpha\) と \(\beta\) について解くと
\( \alpha p+\beta q-r_1^2 = r_1 r_2 \) のとき
\[
\begin{cases}
\displaystyle \alpha = \frac{pr_1 (r_1+r_2) \pm qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\
\displaystyle \beta = \frac{qr_1 (r_1+r_2) \mp pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2}
\end{cases}
\]
\( \alpha p+\beta q-r_1^2 = -r_1 r_2 \) のとき
\[
\begin{cases}
\displaystyle \alpha = \frac{pr_1 (r_1-r_2) \pm qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \\
\displaystyle \beta = \frac{qr_1 (r_1-r_2) \mp pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2}
\end{cases}
\]
となる。（それぞれの場合において複号同順）
4 つの解を次のように \( (\alpha_1, \hspace{4px} \beta_1), \hspace{8px} (\alpha_2, \hspace{4px} \beta_2), \hspace{8px} (\alpha_3, \hspace{4px} \beta_3), \hspace{8px} (\alpha_4, \hspace{4px} \beta_4) \) とおく。
\[
\begin{cases}
\displaystyle \alpha_1 = \frac{pr_1 (r_1+r_2) + qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\
\displaystyle \alpha_2 = \frac{pr_1 (r_1+r_2) - qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\
\displaystyle \alpha_3 = \frac{pr_1 (r_1-r_2) + qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \\
\displaystyle \alpha_4 = \frac{pr_1 (r_1-r_2) - qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2}
\end{cases}
\hspace{50px}
\begin{cases}
\displaystyle \beta_1 = \frac{qr_1 (r_1+r_2) - pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\
\displaystyle \beta_2 = \frac{qr_1 (r_1+r_2) + pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\
\displaystyle \beta_3 = \frac{qr_1 (r_1-r_2) - pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \\
\displaystyle \beta_4 = \frac{qr_1 (r_1-r_2) + pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2}
\end{cases}
\]
それぞれの解を \( \alpha x+\beta y=r_1^2 \) に代入すると、 \(\alpha_{1〜4}\) 、\(\beta_{1〜4} \; \) に対応して円 \(C_1', \> C_2'\) の共通接線 \(l_{1〜4} \; \) が次のように求まる。
\[
l_{1〜4} \; : \hspace{16px} \alpha_{1〜4} \;\; x+\beta_{1〜4} \;\; y-r_1^2=0
\]
ここで 2 つの直線 \( l_1, \hspace{8px} l_2 \) を考える。
2 つの直線の交点の座標は \( \displaystyle \left( \frac{pr_1}{r_1+r_2}, \hspace{8px} \frac{qr_1}{r_1+r_2} \right) \) となる。
この点は円 \(C_1',\) \(C_2'\) の中心 \( (0, \hspace{4px} 0), \hspace{8px} (p, \hspace{4px} q) \) を結ぶ直線 \( qx-py=0 \) の上に乗っているから、
この2つの直線は同じ種類の共通接線になる。
また、\( \displaystyle 0 < \frac{r_1}{r_1+r_2} < 1 \) が成り立つから、この交点は \( (0, \hspace{4px} 0), \hspace{8px} (p, \hspace{4px} q) \) の間にある。
従って \( l_1, \hspace{8px} l_2 \) は共に共通内接線である。
同様に \( l_3, \hspace{8px} l_4 \) は共に共通外接線であり、交点の座標は \( \displaystyle \left( \frac{pr_1}{r_1-r_2}, \hspace{8px} \frac{qr_1}{r_1-r_2} \right) \) である。
求めたいのは円 \(C_1, \> C_2\) の共通接線であり、その共通接線は \(l_{1〜4} \; \) をそれぞれ \(x\) 軸方向に \(+a \text{、} y\) 軸方向に \(+b\) 平行移動したものである。
よって求める共通接線 \(L_{1〜4} \; \) の方程式は
\[
L_{1〜4} \; : \hspace{16px} \alpha_{1〜4} \; (x-a)+\beta_{1〜4} \; (y-b)-r_1^2=0
\]
である。
\(L_1\) , \(L_2\) は共通内接線、\(L_3\) , \(L_4\) は共通外接線である。
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